Квазиподобные слабые сжатия имеют изоморфные решётки инвариантных подпространств

Сжатие $T$ в гильбертовом пространстве $H$ называется слабым, если его спектр не покрывает единичный круг $\mathbb D$ и оператор $I-T^*T$ является ядерным. Операторы $T_1\colon H_1\to H_1$ и $T_2\colon H_2\to H_2$ называются квазиподобными, если существуют операторы $X\colon H_1\to H_2$ и $Y\colon H_2\to H_1$ такие, что $T_2X=XT_1$, $YT_2=T_1Y$ и $X$ и $Y$ имеют нулевые ядра и плотные образы. В статье доказано, что если слабые сжатия $T_1$ и $T_2$, действующие в сепарабельных пространствах $H_1$ и $H_2$, квазиподобны, то существует оператор $X\colon H_1\to H_2$ такой, что $XT_1=T_2X$ и отображение $\mathscr I_X\colon\operatorname{Lat}T_1\to\operatorname{Lat}T_2$, $\mathscr I_XE=\operatorname{clos}XE$, $E\in\operatorname{Lat}T_1$, является изоморфизмом решёток $\operatorname{Lat}T_1$ и $\operatorname{Lat}T_2$. Приводится пример квазиподобных слабых сжатий, для которых верно следующее: для любого изоморфизма $\mathscr I_X$ обратный к нему не представим в виде $\mathscr I_Y$ ни для какого (ограниченного) оператора $Y$. Библ. – 4 назв.