Соотношения между собственными значениями и диагональными элементами эрмитовых матриц и их блочная диагональность

Пусть $A=(a_{ij})^n_{i,j=1}$ – эрмитова матрица и пусть $\lambda_1\geqslant\lambda_2\geqslant\dots\geqslant\lambda_n$ – ее собственные значения. Если $\sum^k_{i=1}=\lambda_i\sum^k_{i=1}a_{ii}$, $k<n$, то, как известно, $A$ является блочно диагональной. Мы показываем, что этот результат легко следует из теоремы Коши о чередовании собственных значений, обобщаем его, вводя выпуклую строго монотонную функцию $f(t)$, и доказываем, что в положительно определенном случае диагональные элементы матрицы можно заменить на диагональные элементы дополнения по Шуру. Библ. 4 назв.