О погрешностях решений линейных алгебраических систем

Выводятся оценки погрешностей следующих методов: метод прогонки для трехдиагональных систем, метод квадратных корней, метод окаймления, метод матриц отражения. Последнему методу посвящена книга С. К. Годунова, который видоизменил названный метод так, что он переводит любую матрицу в двухдиагональную: значительная часть этой книги посвяшена погрешности указанного видоизменения. В данной статье метод матриц отражения изучается в том виде, в каком он изложен в известной книге Д. К. Фаддеева и В. Н. Фаддеевой.
Для метода прогонки получены рекуррентные формулы, позволяющие последовательно оценивать погрешности составляющих вектора решения. В методе квадратных корней погрешность вектора решения оценивается величиной
$$ \varepsilon_1\biggl[(1-\beta)\|A^{-1}\|^{1/2}+(1-\beta)^2\|A^{-1}\|\biggr]+2Cm\varepsilon\|A^{-1}\|^2\cdot\|A\|\cdot\|f\| $$
Здесь $\varepsilon_1$ и $\varepsilon$-малые величины; первая характеризует точность машинных арифметических действий, вторая – погрешность округления при обратном ходе. Далее, $A$-матрица системы, $m$ – её порядок, $f$ – вектор свободных членов, $C$ и $\beta$ – постоянные, причем $0\leqslant\beta<1$. Мы не приводим здесь довольно громоздких оценок для метода окаймления. Погрешность вектора решения, полученного по методу матриц отражения, оценивается величиной ( $P_A$ – число обусловленности матрицы $A$)
$$ \dfrac{\varepsilon_1}{1-\beta}(m-1)\sqrt{m}\|A^{-1}\|\cdot\|f\|(P_A\sqrt{m}+1)+ \dfrac{\varepsilon}{1-\beta}\|A^{-1}\|\sqrt{m}. $$
Все оценки получены с точностью до слагаемых более высокого порядка малостин чем $\varepsilon$, и $\varepsilon$. Сами оценки связаны с предложенной автором в последние годы классификацией погрешностей вычислительных процессов. Библ. б назв.