О некоторых элементах группы Брауэра коники

Получены усиления результатов автора в работах [7] и [8]. Пусть $k$ поле характеристики $\ne 2$, $n\ge 2$, и элементы $\overline{a},\overline{b_1},\dots,\overline{b_n}\in k^*/{k^*}^2$ линейно независимы над $\mathbb Z/2\mathbb Z$. Мы строим расширение полей $K/k$ и кватернионную алгебру $D=(u,v)$ над $K$ такую, что
1) Поле $K$ не имеет нетривиальных расширений нечетной степени.
2) $u$-инвариант поля $K$ равен 4.
3) Мультиквадратичное расширение $K(\sqrt{b_1},\dots,\sqrt{b_n})/K$ не является 4-превосходным, и квадратичная форма $\langle uv,-u,-v,a\rangle$ дает соответствующий контрпример.
4) Центральная алгебра с делением $A=D\otimes_E (a,t_0)\otimes_E (b_1,t_1)\dots\otimes_E (b_n,t_n)$ не раскладывается в тензорное произведение двух нетривиальных центральных простых алгебр над $E$, где $E=K((t_0))((t_1))\dots ((t_n))$ – многомерное поле рядов Лорана от переменных $t_0,t_1,\dots,t_n$.
5) $\operatorname{ind}A=2^{n+1}$.
В частности, алгебра $A$ дает пример неразложимой алгебры индекса $2^{n+1}$ над полем с $u$-инвариантом, равным $2^{n+3}$, и 2-когомологической размерностью, равной $n+3$. Библ. – 10 назв.