О постоянных множителях в оценках погрешности вариационно-сеточной аппроксимации

Пусть $U\in W_p^{(2s)}(0,1)$ и пусть исходные функций $\omega_{q,s}(x)$, $0\leqslant q\leqslant s-1$ равны нулю вне отрезка $[0,2]$, а на каждом из интервалов $(0,1)$ и $(1,2)$ суть полиномы степени $2s-1$. Обозначим
\begin{equation} U^h(x)=\sum_{q=0}^{2s-1}\sum_{j=-1}^{2n-1}h^2U^{(q)}((j+1)h)\omega_{q,s} \biggl(\dfrac{x}{h}-j\biggr),\quad h=\dfrac{1}{2n}. \tag{1} \end{equation}
Тогда, как известно,
\begin{equation} \|U-U^h\|_{l_p(\overline{s})}\leqslant C(s,\overline{s})h^{2s-\overline{s}}\|U^{(2s)}\|_{L_p(0,1)}\quad \overline{s}\leqslant s; \tag{2} \end{equation}
близкие результаты были получены также и для функций многих переменных.
В настоящей статье даны оценки полиномов $\sigma_{q,s}(t)=\omega_{q,s}(t+1)$, $0\leqslant t\leqslant1$ и их производных порядка $\leqslant s$ в метриках $C$ и $L_p$; полученные оценки оказываются существенно лучше марковских. Из упомянутых оценок получается оценка для величины $C(s,\overline{s})$ неравенства $(2)$. В случае многих переменных рассмотрена аппроксимация функций классов $C(\Omega)$ и $W_p^{(2s)}(\Omega)$ функциями $U^t$, аналогичными функциям $(1)$; исходные функции получены перемножением одномерных кусочно полиномиальных исходных функций. Для функций класса $W_p^{(2s)}(\Omega)$ соответствующая постоянная $C(s,\overline{s})$ зависит еще от двух величин, названных здесь “постоянной усреднения” и “постоянной продолжения”. Получена оценка постоянной усреднения; постоянная продолжения оценена дая продолжения по Хестинсу. Библ. 11 назв.