О максимуме четвертого диаметра в семействе континуумов данной емкости

Получено полное решение задачи о максимуме четвертого диаметра
$$ d_4(E)=\biggl\{\max_{z_k,z_r\in E}\prod_{1\leqslant k\leqslant l\leqslant4}|z_k-z_l|\biggr\}^{1/6} $$
в семействе континуумов емкости 1. Пусть $E(0,e^{i\alpha},e^{-i\alpha})$, $0<\alpha<\pi/2$, – континуум наименьшей емкости, содержащий точки $0$, $e^{i\alpha}$, $e^{-i\alpha}$; $H(\alpha)=\operatorname{cap}E(0,e^{i\alpha},e^{-i\alpha})$. Пусть $c(\alpha)$ – общая точка трех аналитических дуг, образующих $E(0,e^{i\alpha},e^{-i\alpha})$. Показывается, что указанный максимум реализуется континуумом $\mathscr E=\{z:H(\alpha_0)z^2\in E(0,e^{i\alpha},e^{-i\alpha})\}$, где $\alpha_0$, $0<\alpha_0<\pi/2$ – решение уравнения $c(\alpha)=\frac13\cos\alpha$. Любой другой экстремальный континуум данной задачи является образом $\mathscr E$ при преобразовании $z\to e^{i\gamma}z+C$ ($\gamma$ – вещественная, $C$ – комплексная постоянная). Находится значение искомого максимума. Работа содержит краткое изложение доказательства этого результата. Библ. 10 назв.