О вероятностях умеренных уклонений

Пусть $X_1,X_2,\dots$ последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$. Изучается скорость сходимости вероятностей вида $P(S_n\geq\varepsilon(n\log n)^{1/r})$, $P(\max_{1\leq k\leq n}S_k\geq\varepsilon(n\log n)^{1/r})$ и $P(\sup_{k\geq n}\frac{S_k}{(k\log k)^{1/r}}\geq\varepsilon)$ для любого $\varepsilon>\varepsilon_0$ и некоторых $r$ и $\varepsilon_0$. Кроме того, указаны условия необходимые и достаточные для выполнения соотношения
$$ P(S_n\geq x\sigma\sqrt n)=(1-\Phi(x))(1+O(1)),\quad n\to\infty, $$
равномерно относительно $x$ в области $0\leq x\leq C\sqrt{\log n}$, где $\sigma$ и $C$ – некоторые положительные постоянные, а
$$ \Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}\,dt. $$
Приведены также локальные предельные теоремы.