О наследственно заостренных множествах в банаховых пространствах

Ограниченное множество $A$ в банаховом пространстве $X$ называется заостренным, если для любого числа $\varepsilon$, $\varepsilon>0$, существует точка $x\in A$, не принадлежащая множеству $\mathrm{\overline{co}}(A\setminus\{\in X:\|z-x\|\le\varepsilon\}$. В работе изучаются замкнутые выпуклые ограниченные множества $B$, все подмножества которых являются заостренными. Некоторые из результатов: наследственная заостренность множества $B$ эквивалентна его наследственной $f$-заостренности (в приведенном выше определении надо заменить оболочку $\mathrm{\overline{co}}$ на оболочку $\mathrm{co}$), а также тому, что всякое замкнутое подмножество в $B$ имеет экстремальную точку. Метод доказательства первого (и основного в работе) утверждения существенно отличается от метода Дэйвиса–Фелпса доказательства соответствующего факта для случая $B=\{x\in X:\|x\|\le1\}$.