О совпадении двух кросснорм, связанных с порядком

Пусть $E$ – упорядоченное нормированное пространство и пусть $X$ –произвольное нормированное пространство. В статье рассматриваются две кросснормы на тензорном произведении $E\otimes X$:
\begin{gather*} n_E(z)=\inf\biggl\{\|u\|:\sum_{k=1}^ne_k\langle x_k,x^*\rangle\le u,\ z=\sum_{k=1}^ne_k\otimes x_k,\ x^*\in X,\ \|x^*\|\le1\biggr\}, \\ k_E(z)=\inf\biggl\{\biggl\|\sum_{k=1}^ne_k\|x_k\|\biggr\|:z=\sum_{k=1}^ne_n\otimes x_k,\ e_k\ge0\biggr\}. \end{gather*}

Теорема 1. Следущие условия эквивалентны:
1) для каждого нормированного пространства $X$ и каждого $z$, $z\in E\otimes X$ справедливо равенство $n_E(z)=k_E(z)$;
2) пространство $E$ обладает интерполяционным свойством Рисса.