К задаче о максимуме $n$-го диаметра на гиперболической плоскости

Пусть $E$ – компакт в круге $U=\{z:|z|<1\}$ и пусть $d_n(E)$ – $n$-ый евклидов диаметр $E$, $d_n^{(h)}(E)$ – $n$-ый гиперболический диаметр $E$:
$$ d_n^{(h)}(E)=\max_{z_kz_\ell\in E}\biggl\{\prod_{1\le k<\ell\le n}\biggl|\frac{z_k-z_\ell} {1-\bar z_kz_\ell}\biggr|\biggr\}^{2/[n(n-1)]},\quad n=2,3,\dots. $$
Пусть $\mathscr K^{(h)}(\rho)$ – семейство всех континуумов в $U$ гиперболической емкости $\rho$, $0<\rho<1$. Пусть $E_1^*(\rho)=[0,R_1(\rho)]$ и пусть при $n=2,3,\dots$ $E_n^*(\rho)=\{z:z^n\in E_1^*(\rho)\}$, где $R_n(\rho)$ – решение уравнения
$$ \log1/\rho=\frac{\pi}{2n}K'(R_n^n), $$
$K(k)$ – эллиптический интеграл I рода с модулем $k$, $K'(k)=K(\sqrt{1-k^2})$. В $\S$ 1 данной работы показывается, что при всех четных $n=2m\ge4$ и всех $0<p<1$ симметричный континуум $E_n^*(\rho)$ не реализует максимума $d_n^{(h)}(E)$ в семействе $\mathscr K^{(h)}(\rho)$. Это дополняет известный результат негативного характера в задаче о максимуме $n$-го евклидова диаметра в семействе всех континуумов фиксированной емкости. В $\S$ 2 показывается, что при любом $0<\rho<1$ максимум $d_3(E)$ в семействе $\mathscr K^{(h)}(\rho)$ реализуется только континуумами вида $E=\{e^{id}z:z\in E_3^*(\rho)\}$, $d$ – вещественное число. Библ. – 16 назв.