О максимуме произведения конформных радиусов четырех неналегающих областей

Пусть $a_k$, $k=1,\dots,4$, – заданные различные точки $\mathbb C$. Пусть $D_k$, $k=1,\dots,4$, – система односвязных областей на замкнутой плоскости $\overline{\mathbb C}$ таких, что $a_k\in D_k$, $k=1,\dots,4$, $D_k\cap D_\ell=\varnothing$ при $k,\ell=1,\dots,4$, $k\ne\ell$. Пусть $R(D_k,a_k)$ – конформный радиус области $D_k$ относительно точки $a_k$. В данной работе получено явное выражение для максимума произведения $\prod_{k=1}^4R(D_k,a_k)$ в семействе всех указанных систем областей через эллиптические функции. При доказательстве непосредственно используется характеристика экстремального семейства областей рассматриваемой задачи в терминах ассоциированного квадратичного дифференциала. Библ. – 4 назв.