Об устойчивости решений односторонних вариационных задач; приложения к теории пластичности

В статье исследуются односторонние вариационные задачи вида \[ \|u-u_0\|=\min,\quad u\in M\tag{1}, \] где $\|\cdot\|$ – норма в некотором гильбертовом пространстве $H_0$, $M$ – непустое выпуклое множество, замкнутое в метрике $H_0$, $u_0$ – заданный элемент этого пространства.
Основные результаты:
1) Решение задачи (1) устойчиво относительно малых возмущений данных этой задачи – элемента $u_0$, нормы $\|\cdot\|$ и множества $M$; понятия малых возмущений точно формулируются.
2) Пусть множество $M$ определяется формулой
$$ M=\{u:u\in H_0,|||u-g|||\le\alpha\}, $$
в которой $g$ – элемент некоторого гильбертова пространства, объемлющего пространство $H_0$, $|||\cdot|||$ – некоторая полунорма и $\alpha$ – положительная постоянная. Пусть $H^{(n)}$ – подпространство пространства $H_0$, на всех элементах которого полунорма $|||\cdot|||$ конечна. Если $u_n$ – приближенное решение задачи (1), полученное как решение задачи $\|u-u_0\|=\min$, $u_n\in M\cap H^{(n)}$, то $\|u_*-u_n\|=0(e_n(u_*))$, где $u_*$ – точное решение задачи (1), a $e_n(u_*)$ – наилучшее приближение $u_*$ элементами подпространства $H^{(n)}$.
Приведенные результаты использованы в ряде задач об упруго-пластическом состоянии по Сен-Венану–Мизесу; предполагается, что для этих задач справедлив вариационный принцип Хаара–Кармана. Библ. – 29 назв.