Меры Эрдёша, софические меры и марковские цепи

Рассматривается случайная величина $\zeta=\xi_1 \rho+\xi_2\rho^2+\ldots$, где $\xi_1,\xi_2,\ldots$ независимые и одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения 0, 1 и $P(\xi_i=0)=p_0$, $P(\xi_i=1)=p_1$, $0<p_0<1$. Пусть $\beta=1/\rho$ – золотое сечение.
Разложение Фибоначчи для случайной точки $\rho\zeta$ отрезка $[0,1]$ имеет вид $\eta_1\rho+\eta_2\rho^2+\ldots$, где случайные величины $\eta_k=0,1$ и $\eta_k\eta_{k+1}=0$. Бесконечное случайное слово $\eta=\eta_1\eta_2\ldots\eta_n\ldots$ принимает значения в компакте Фибоначчи и задает на нем меру Эрдёша $\mu(A)=P(\eta\in A)$. Инвариантная относительно сдвига мера, относительно которой мера Эрдёша абсолютно непрерывна, называется инвариантной мерой Эрдёша.
Доказано, что меры Эрдёша – софические. Софические меры получаются из марковских мер, отвечающих конечным однородным марковским цепям, при кодировании “буква в букву”. Для мер Эрдёша число состояний соответствующей регулярной марковской цепи равно 5. Эргодические свойства инвариантной меры Эрдеша немедленно следуют из этого описания.
Дано простое “эргодическое” доказательство сингулярности распределения случайной величины $\zeta$. Аналогичные результаты получены для случая, когда $\xi_1,\ldots,\xi_k,\ldots$ – стационарная марковская цепь с состояниями 0, 1. В частности, доказано, что распределение $\zeta$ сингулярно, а меры Эрдеша возникают при склейке состояний в регулярной марковской цепи с 7 состояниями. Библ. – 3 назв.