Характеризация распределений свойством локальной асимптотической оптимальности тестовых статистик

Пусть $X_1,X_2,\dots$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью $f(x-\Theta)$, $\Theta\in R^1$. Рассматривается задача проверки гипотезы $H_0:\Theta=0$ против $H_1:\Theta\ne0$ на основании последовательности тестовых статистик $\{T_n(X_1,\dots,X_n)\}$. В соответствии с теорией Бахадура мерой асимптотической эффективности $\{T_n\}$ является ее точный наклон $C_T(\Theta)$. Говорят, что $\{T_n\}$ локально асимптотически оптимальна по Бахадуру, если $C_T(\Theta)\sim2K(\Theta)$, $\Theta\to0$, где
$$ K(\Theta)=\int_{-\infty}^\infty\ln\frac{f(x-\Theta)}{f(x)}f(x-\Theta)\,dx. $$
Цель работы – характеризация плотностей $f$, для которых свойством локальной асимптотической оптимальности обладают такие употребительные статистики как выборочное среднее, статистики Колмогорова–Смирнова, знаков, $\omega^2$ и их разновидности. При некоторых ограничениях на $f$ доказывается, например, что последовательность статистик $\omega^2$ локально асимптотически оптимальна только для распределения “гиперболического косинуса”, а Колмогорова – только для распределения Лапласа. В конце работы аналогичные результаты получены для двухвыборочного случая, в частности, для широкого класса линейных ранговых статистик. Библ. – 18 назв.