Прямая динамическая задача для балки Тимошенко

В работе рассматривается начально-краевая задача для системы
\begin{align*} &\rho u_{tt}-(\Gamma u_x) _x+Au_x+Bu=0,\qquad x>0,\quad 0<t<T,\\ &u|_{t=0}=u_t|_{t=0}=0,\qquad x\geq0,\\ &u|_{x=0}=f,\qquad0\leq t\leq T, \end{align*}
где $\rho=\mathrm{diag}\{\rho_1,\rho_2\}$, $\Gamma=\mathrm{diag}\{\gamma_1,\gamma _2\}$, $A$ и $B$ гладкие $2\times2$ матрицы-функции перменной $x$, причем $\rho _i$ и $\gamma_i$ – положительные функции, удовлетворяющие условию $0<\mathrm{const}\leq\frac{\rho_1(x)}{\gamma_1(x)}<\frac{\rho_2(x)}{\gamma_2(x)}$, $x\geq0$; $f=\mathrm{col}\{f_1(t),f_2(t)\}$ – граничное управление; $u=u^f(x,t)=\mathrm{col}\{u_1^f(x,t),u_2^f(x,t)\}$ – решение (волна). Задача описывает волновой процесс в системе, в которой присутствуют две волновые моды, распространяющиея с разными скоростями. Взаимодействие мод приводит к интересным физическим эффектам и, в то же время, усложняет волновую картину. Для управлений $f\in L_2((0,T);\mathbb R^2)$, задача сводится к адекватному интегральному уравнению, определяется обобщенное решение $u^f$ и устанавливается корректность задачи. Вводится фундаментальное решение, и детально исследуются его главные особенности. Устанавливается существование медленных волн, являщюихся смесью мод, которая распространяется со скоростью медленной моды. Библ. – 11 назв.