Об аффинных ортаэдрах, вписанных в выпуклое тело

Под выпуклым телом понимается компактное выпуклое множество в $\mathbb R^n$ с непустой внутренностью, а через $V(K)$ обозначается объём тела $K$. Аффинным ортаэдром в $\mathbb R^n$ назовём выпуклую оболочку $n$ отрезков $A_1B_1,\dots,A_nB_n$, имеющих общую середину $O$ и не лежащих в одной гиперплоскости. С аффинным ортаэдром $A$ мы связываем аффинный флаг $F(A)\colon O\in L_1\subset L_2\subset\dots\subset L_n=\mathbb R^n$, где $L_k$ есть аффинная оболочка отрезков $A_1B_1,\dots,A_kB_k$ для $1\le k\le n$.
Теорема. {\it Во всякое выпуклое тело $K$ в $\mathbb R^n$ вписан аффинный ортаэдр $A$, для аффинного флага которого $F(A)$ для каждого $2\le k\le n$ выполняется следующее условие: опорные $(k-1)$-плоскости в точках $A_k$ и $B_k$ к телу $L_k\cap K$ в плоскости $L_k$ параллельны плоскости $L_{k-1}$. Всякий аффинный ортаэдр $A$ с вышеописанными свойствами имеет объем по крайней мере $V(K)/2^{n(n-1)/2}$.}
Библ. – 4 назв.