Критерий обращения в нуль спектральной плотности, основанный на гомоклинических суммах

Пусть $X$ – компакт с метрикой $d$, а $T\colon X\to X$ – гомеоморфизм.
При некоторых условиях, обеспечивающих гиперболичность $T$, в статье доказывается следующее утверждение.
Пусть $\lambda\in\mathbb C$, $|\lambda|=1$, $f\colon X\to\mathbb C$ – функция, удовлетворяющая условию Гельдера, и $\mu$ – гиббсовская мера на $X$. Тогда равенство
$$ \sum_{k\in\mathbb Z}\lambda^{-k}\Biggl(\int_Xf(T^kx)\overline f(x)\mu(dx)-\Bigg|\int_Xf(x)\mu(dx)\Bigg|^2\Biggr)=0 $$
равносильно тому, что для всяких $x,y\in X$ таких, что $d(T^kx,T^ky)\xrightarrow[|k|\to\infty]{}0$,
$$ \sum_{k\in\mathbb Z}\lambda^{-k}(f(T^ky)-f(T^kx))=0. $$
Библ. – 11 назв.