On an exponential sum

Пусть $p$ – простое число, $n$ – положительное целое и $f(x) = ax^k+bx$. Положим
$$ S(f,p^n) = \sum_{x=1}^{p^n}e\biggl(\frac{f(x)}{p^n}\biggr), $$
где $e(t)=\exp(2\pi it)$. Эта специальная экспоненциальная сумма широко исследовалась в связи с проблемой Варинга. Мы запишем $n$ в виде $n=Qk+r$, где $0\le r\le k-1$ и $Q\ge 0$. Пусть $\alpha=\operatorname{ord}_p(k)$, $\beta=\operatorname{ord}_p(k-1)$, и $\theta=\operatorname{ord}_p(b)$. Определим
$$ \mathcal Q=\begin{cases} \dfrac{\theta-\alpha}{k-1},&\text{если }\theta\ge\alpha, \\ 0,&\text{иначе}, \end{cases} $$
и $J=[\zeta]$. Более того, мы обозначаем $V=\min(Q,J)$.
Улучшая предыдущие результаты, мы устанавливаем следующую теорему.
Теорема. Пусть $k\ge 2$ и $n\ge 2$. Если $p>2$, то
$$ |S(f,p^n)|\le\begin{cases} p^{\frac{1-V}2}p^{\frac n2}(b,p^n)^{\frac12},&\text{если }n\equiv 1\pmod k, \\ (k-1,p-1)p^{-\frac V2}p^{\frac{\min(\alpha,1)}2}p^{\min(\frac\beta2,\frac n2-1)}p^{\frac n2}(b,p^n)^{\frac12}, &\text{если }n\not\equiv 1\pmod k. \end{cases} $$
Мы приводим пример, показывающий что это является наилучшим возможным результатом. Библ. – 15 назв.