Об особенностях суммируемых функций

Пусть $\Phi=\{\varphi_n\}$ – семейство функций из $L^\infty[0,1]$, для которого выполнено неравенство Бесселя , а $\nu=\{\nu_n\}$ – неотрицательная числовая последовательность. Для $f\in L^1$ введем обозначение $\|f\|_{S(2,\nu)}=\{\sum c^*_n(f;\Phi)^2\nu_n\}^{1/2}$, где $c^*_n$ – перестановка в невозрастающем порядке последовательности $\{|c_n(f;\Phi)|\}$ модулей коэффициентов Фурье $f$ по семейству $\Phi$. В работе доказано, что, если $\nu_n\to0$ при $n\to\infty$, то
$$ \inf_{T_\omega\in G_1}\|T_\omega f-P_\Delta f\|_{S(2,\nu)}=\inf_{T_r\in G_2}\|T_rf\|_{S(2,\nu)}=0, $$
где $G_1,G_2$ – группы линейных изометрий $L^1$, порожденные автоморфизмами $\omega$ пространства $[0,1]$ с мерой Лебега, и измеримыми унимодулярными действительными функциями $r$, соответственно, $T_\omega f=f\circ\omega$, $T_rf=r\cdot f$, $P_\Delta f=\int f\,dt$, $f\in L^1$. При $\nu_n\to\infty$ доказываются теоремы о локализации условия $\|f\|_{S(2,\nu)}=\infty$ на измеримых подмножествах $[0,1]$ в случае, когда $\Phi$ – полное ортонормированное в $L^2$ семейство. Библ. – 17 назв.