Простое доказательство теоремы об устранимых особенностях аналитических функций, удовлетворяющих условию Липшица

Пусть $E$ – компактное подмножество комплексной плоскости $\mathbb C$, имеющее положительную плоскую меру Лебега. Тогда существует непостоянная аналитическая в области $\mathbb C\setminus E$ функция $f$, удовлетворяющая условию Липшица
\begin{equation} |f(z_1)-f(z_2)|\le\operatorname{const}|z_1-z_2|,\qquad z_j\in\mathbb C\setminus E,\quad j=1,2. \end{equation}
В заметке приводится простое доказательство теоремы N. X. Uy, сформулированной выше. Доказывается также, что каждую ограниченную измеримую функцию $\alpha$, определенную на множестве $E$, можно исправить на множестве малой меры Лебега так, что для полученной ограниченной функции $\varphi$ интеграл Коши
$$ f(z)=\iint_E\frac{\varphi(t)}{t-z}\,dm_2(t)$$
удовлетворяет условию (1). Библ. – 4 назв.