Approximations to $q$-logarithms and $q$-dilogarithms, with applications to $q$-zeta values

Мы сторим совместные рациональные приближения к $q$-рядам $L_1(x_1;q)$ и $L_1(x_2;q)$, и если $x=x_1=x_2$, к рядам $L_1(x;q)$ и $L_2(x;q)$, где
\begin{gather*} L_1(x;q)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(xq)^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{xq^n}{1-xq^n}, \\ L_2(x;q)=\sum_{n=1}^\infty\frac{n(xq)^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{xq^n}{(1-xq^n)^2}. \end{gather*}
Применяя нашу конструкцию, мы получаем оценку меры линейной независимости над $\mathbb Q$ чисел из следующих наборов: $1$, $\zeta_q(1)=L_1(1;q)$, $\zeta_{q^2}(1)$, и $1$, $\zeta_q(1)$, $\zeta_q(2)=L_2(1;q)$ для $q=1/p$, $p\in\mathbb Z\setminus\{0,\pm1\}$. Библ. – 14 назв.