Выводящие последовательности и непрерывные полумарковские процессы на прямой

Рассматривается семейство $(g_\Delta, h_\Delta)$ ($\Delta$ – интервал) решений дифференциального уравнения $f''+A(x)f'+B(x)f=0$ с краевыми условиями: для каждого $\Delta=(a, b), g_\Delta(a)=h_\Delta(b)=1, g_\Delta(b)=h_\Delta(a)=0,$ где $A$, $B$ – непрерывные функции. Пусть $f_\Delta(B|x)=g_\Delta(x)\mathbb I(B|a)+h_\Delta(x)\mathbb I(B|b),$ если $x\in\Delta$ и $f_\Delta(B|x)=\mathbb I(B|x)$, если $x\notin\Delta,$ $M_\Delta=\max_{x\in\Delta}|A(x)|$, $m_\Delta=-\max_{x\in\Delta}B(x)>0$ и $M_{(-r, r)}/rm_{(-r, r)}\to0$ $(r\to\infty).$
Доказано, что при этом условии для любой выводящей последовательности $(\Delta_1, \Delta_2,\dots)$ $(\forall x\in\mathbb R)$ $f_{(\Delta_1,\dots,\Delta_n)}(B|x)\to0$ $(n\to\infty),$ где $f_{(\Delta_1,\dots,\Delta_n)}(B|x)=\int_{\mathbb R}f_{\Delta_1}(dx_1|x)f_{(\Delta_2,\dots,\Delta_n)}(B|x_1)$ $(n\geqslant2)$ $(B\in\mathcal B(\mathbb R))$ – итерированное ядро $f_\Delta$. Последовательность $(\Delta_1, \Delta_2,\dots)$ называется выводящей, если $(\forall\xi\in\mathcal D(\mathbb R))$ $\tau_{(\Delta_1,\dots,\Delta_n)}\xi\to0$ $(n\to\infty)$ где $\tau_\Delta\xi=\inf\{t\geqslant0, \xi(t)\notin\Delta\}, \tau_{(\Delta_1,\dots,\Delta_n)}=\tau_{\Delta_1}+\tau_{(\Delta_2,\dots,\Delta_n)}\circ\theta_{\tau_{\Delta_1}}$, $\theta_\tau$ – оператор сдвига. Эта теорема применяется для доказательства существования полумарковского процесса, переходные функции которого удовлетворяют дифференциальному уравнению данного типа.