Трехмерные гомологические сферы и зацепления с многочленом Александра I

В статье устанавливается связь между двумя ключевыми проблемами топологии многообразий размерности $3$ и $4$: проблемой нетривиальности ядра гомоморфизма Рохлина $R\colon\theta\to\mathbb Z/2$, где $\theta$ – группа $\mathbb Z$-гомологически кобордантных трехмерных $\mathbb Z$-гомологических сфер, и проблемой существования несрезанных узлов и зацеплений с многочленом Александра I. Именно, показывается, что если $\operatorname{Ker} R\ne0$, то в крае некоторого четырехмерного компактного гомологического шара $V$ существует узел рода $1$ с многочленом Александра I, не ограничивающий локально-плоский диск ни в каком гомологическом шаре с краем $\partial V$ (и, в частности, в $V$). Сходный результат устанавливается для зацеплений в $S^3$. Из результатов статьи видно, что препятствия к срезанности узлов и зацеплений могут лажать в $\operatorname{Ker} R$. С другой стороны, эти результаты могут рассматриваться как шаги в направлении доказательства тривиальности группы $\operatorname{Ker}R$.