Унитреугольные факторизации групп Шевалле

В последние годы в нескольких различных контекстах рассматривалась следующая задача: найти кратчайшую факторизацию $G=UU^-UU^-\dots U^\pm$ группы Шевалле $G=G(\Phi,R)$ в терминах унипотентного радикала $U=U(\Phi,R)$ борелевской подгруппы $B=B(\Phi,R)$ и унипотентного радикала $U^-=U^-(\Phi,R)$ противоположной борелевской подгруппы $B^-=B^-(\Phi,R)$. Рекордный результат над конечным полем получен в работе Бабаи, Николова и Пибера 2010 года, где доказано, что для конечных групп типа Ли имеет место унитреугольная факторизация $G=UU^-UU^-U$ длины 5. При этом доказательство в их работе использует сложные аналитические и комбинаторные средства. В настоящей работе мы замечаем, что из работ Басса и Тавгеня сразу вытекает гораздо более общий результат, состоящий в том, что для любого кольца стабильного ранга 1 имеет место унитреугольная факторизация $G=UU^-UU^-$ длины 4. Кроме того, мы подробно обсуждаем всю эту проблематику, доказываем некоторые близкие результаты, обсуждаем перспективы обобщения на другие кольца и формулируем несколько нерешенных задач в этой области. Второй основной результат работы состоит в том, что в предположении обобщенной гипотезы Римана группа Шевалле над кольцом $\mathbb Z[\frac1p]$ допускает унитреугольную факторизацию $G=UU^-UU^-UU^-$ длины 6. Лучшая до сих пор оценка для областей Хассе с бесконечной мультипликативной группой, вытекающая из работы Кука и Уайнбергера, давала 9 множителей. Библ. – 67 назв.