Обобщение одной теоремы Харди–Литтлвуда

В статье получено следующее обобщение хорошо известной теоремы Харди–Литтлвуда: Пусть $f$ – аналитическая функция в единичном круге. Положим
$$ M_p(r,f)=\Bigl(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|f(re^{i\theta})|^pd\theta\Bigr)^{\frac1p} $$
и пусть $M_p(r,f)=O(\varphi(r))$, $r\to1-0$, где $\varphi$ – монотонно возрастающая функция на $(0,1)$ и
$$ \alpha_\varphi=\lim_{r\to1-0}\frac{\varphi'(r)(1-r)}{\varphi(r)}. $$
Тогда
1) если $0\leq\alpha_\varphi<+\infty$, то $M_p(r,f')=O(\frac{\varphi(r)}{1-r})$, $r\to1-0$;
2) если $\alpha_\varphi=+\infty$, то $M_p(r,f')=O(\varphi'(r))$, $r\to1-0$.
Библ. – 4 назв.