Об одной гипотезе для логарифмических коэффициентов однолистных функций

Рассматривается класс $S$ регулярных и однолистных в $|z|<1$ функций, нормированных разложением $f(z)=z+c_2z^2+\dots$. Логарифмическими коэффициентами функции $f(z)\in S$ принято называть коэффициенты разложения
$$ \log\frac{f(z)}z=\sum_{k=1}^\infty2\gamma_kz^k,\quad|z|<1. $$
Ранее автором было высказано следующее предположение: для любой функции $f(z)\in S$ при каждом $r\in(0, 1)$ выполняется неравенство
$$ \sum_{k=1}^\infty k|\gamma_k|^2r^{2k}\leqslant\max_{|z|=r^2}\operatorname{Re}\sum_{k=1}^\infty\gamma_kz^k. $$
В данной статье эта гипотеза доказывается для спиралеобразных функций и для функций из $S$ с вещественными коэффициентами при некоторых дополнительных условиях.