Константы Лебега кратных сумм Валле–Пуссена по многогранникам

Рассматриваются линейные методы суммирования кратных рядов Фурье
$$ U_{\Lambda, n, p}(f; x)=\sum_{k\in\mathbb Z^m}\varphi(k)c_k(f)e^{2\pi i(k, x)}\quad(0\leqslant p\leqslant n), $$
являющиеся многомерными аналогами сумм Валле–Пуссена. Суммирование ряда Фурье производится по гомотетам $m$-мерного звездного многогранника $\Lambda$. Показано, что если $\Lambda$ имеет рациональные вершины, то константы Лебега изучаемых методов с точностью до слагаемого $O((p+1)^{-1}\log^{m-1}O(n+2))$ равны $\int_{[-1/2, 1/2]^m}\hat\varphi(x)\,dx$, где $\hat\varphi$ – преобразование Фурье функции $\varphi$. Точное значение главного члена констант Лебега вычислено в двух частных случаях: 1) $\Lambda$ получен из $m$-мерного куба с помощью линейного невырожденного преобразования; 2) $p=0$, $\Lambda$ – $m$-мерный симплекс.