О функциях с конечным интегралом Дирихле в области с вершиной пика на границе

Пусть $\Omega$ – область в $\mathbb R$, $n>2$, на границе которой имеется вершина пика, направленного внутрь или во внешность области. Цель работы – охарактеризовать следы на $\partial\Omega$ элементов пространства $H^1(\Omega)$ функций с конечным интегралом Дирихле. Как следствие установлено существование линейного непрерывного оператора продолжения $H^1(\Omega)\to H^1(\mathbb R^n)$ при наличии внутреннего пика на $\partial\Omega$.
Теоремы об областях с пиками доказываются при помощи результатов о цилиндрических областях. В пространстве функций с конечным интегралом Дирихле во внешности или внутренности цилиндра вводится норма $(\|\nabla u\|^2_{L_2(\Omega)}+\varepsilon^2\|u\|^2_{L_2(\Omega)})^{1/2}$, зависящая от малого параметра $\varepsilon$ и порождающая норму следа на $\partial\Omega$ как элемента фактор-пространства. Последней ставится в соответствие явно описываемая норма функции на границе, эквивалентная равномерно относительно $\varepsilon$. Построен сохраняющий $H^1$ оператор продолжения функций из внешности цилиндра на $\mathbb R^n$, норма которого ограничена равномерно относительно $\varepsilon$. Для оптимального оператора продолжения изнутри цилиндра найдена асимптотика нормы при $\varepsilon\to0$. Из этих результатов следуют аналогичные теоремы о функциях с конечным интегралом Дирихле внутри и вне тонкой (ширины $\varepsilon$) замкнутой трубки.