Наброски к вычислению кратности спектра ортогональных сумм

Если $A$ и $B$ – операторы в пространствах $X$ и $Y$, соответственно, и если оператор $B$ имеет “много” множеств $\Delta$, $\Delta\subset\mathbb C$, таких, что многообразия $Y(\Delta)\overset{\text{def}}{=}\{y\in Y:\|p(B)y\|\leqslant C_y\sup_\Delta|p|, \forall p, p \text{ -- полином}\}$ плотны в пространстве $Y$, то $\mu_{A\oplus B}=\max(\mu_A, \mu_B)=\mu_A$. Здесь $\mu_A=\text{ (кратность спектра оператора }A)=\min\{\dim L:\operatorname{span}(A^nL:n\geqslant0)\}=X$. Например, если $B=T\bar g$ оператор Теплица в пространстве $H^2$ с антианалитическим символом $\bar g$ $(g\in H^\infty, g\not\equiv\mathrm{const})$ и если $g(\mathbb D)\setminus\text {(полиномиально выпуклая оболочка спектра }\sigma(A))\ne\varnothing$, то $\mu_{A\oplus T\bar g}=\mu_A$. Напротив, если $A=T_f$ $(f\in H^\infty)$ и $g(\mathbb D)\subset f(\mathbb D)$, то (при некоторых предположениях о “правильности” функции $f$) $\mu_{Tf\oplus Tg}=\mu_{Tf}+\mu_{Tg}$. Приводятся также примеры однолистных и существенно однолистных функций $f$ $(f\in H^\infty)$, для которых $\mu_{Tf}>1$.