Вероятности больших уклонений на борелевских множествах

Для независимых одинаково распределенных векторов $X_k$ и борелевских $A_n$, изучается точность аппроксимации вероятности $P_n(A_n)=P\{n^{-1/2}(X_1+\dots+X_n)\in A_n\}$ распределением $\Phi(A_n)$, $\Phi(A_n)\to0$. Получен критерий для выполнения соотношения $P_n(A_n)=\Phi(A_n)(1+O(\ae(\sqrt n)))$ равномерно по всем таким последовательностям $\{A_n\}$, что $\Phi(A_n)\geqslant\Phi(\{x:|x|>\bar\Lambda(\sqrt n)\})$, где $\ae(z)\downarrow0$, $\bar\Lambda(z)\uparrow\infty$ – функции, удовлетворяющие некоторым условиям.