Коэффициенты Фурье параболических форм и автоморфные $L$-функции

В начале работы дается обзор сумматорных формул для коэффициентов Фурье голоморфных $\Gamma$-параболических форм, связанных с $L$-функциями трех и четырех собственных форм Гекке; $\Gamma=\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$. Продолжая известные работы по $L$-функциям трех собственных форм Гекке $L_{f,\varphi,\psi}(s)$, автор доказывает их новые свойства для частного случая $L_{f,f,\varphi}(s)$. Полученные результаты прилагаются к доказательству аналога теоремы Зигеля для $L$-функции $L_f(s)$ собственной формы Гекке $f(z)$ на $\Gamma$ (в аспекте по весу) и к выводу новой сумматорной формулы. Пусть $f(z)$, собственная форма Гекке на $\Gamma$ четного веса $2k$, имеет разложение Фурье $f(z)=\sum_{n=1}^\infty a(n)e^{2\pi inz}$. Изучен равномерный по весу аналог задачи Харди о поведении суммы $\sum\limits_{p\le x}a(p)\log p$. Доказаны новые оценки сверху для суммы $\sum_{n\le x}a(F(n))^2$, где $F(X)$ – целочисленный полином специального вида (в частности, абелев полином). Наконец, получена оценка снизу
$$ L_4(1)+|L'_4(1)|\gg\frac1{(\log k)^c}, $$
где $L_4(s)$ – четвертая симметрическая степень $L$-функции $L_f(s)$, $c>0$ – константа. Библ. – 43 назв.