Дополнение соотношений в про-$p$-группах когомологической размерности два

Доказывается, что если из минимального непредставления про-$p$-группы $G$ когомологической размерности два со свободным коммутантом выбросить часть соотношений, то получится минимальное копредставление про-$p$-группы, когомологическая размерность которой равна двум и коммутант которой свободен. Для таких про-$p$-групп $r(G)<d(G)$, где $d(G)$ – минимальное число образующих конечнопорожденной про-$p$-группы $G$, a $r(G)$ – минимальное число соотношений. Обратно, если $G$ – конечнопорожденная про-$p$-группа когомологической размерности два со свободным коммутантом, то для нее любую минимальную систему соотношений можно дополнить до такой системы соотношений, что получаемая про-$p$-группа $G'$ имеет когомологическую размерность два, коммутант ее свободен, причем $r(G')=d(G')-1=d(G)-1$. При доказательстве используется условие (в терминах образующих и соотношений), при котором про-$p$-группа является расширением бесконечной циклической про-$p$-группы с помощью свободного нормального делителя.