$\mathrm{SL}_2$-факторизации групп Шевалле

Мы рассматриваем представления группы Шевалле $G=G(\Phi,R)$ над кольцом $R$ как произведения фундаментальных $\mathrm{SL}_2$. В работе Либека, Николова и Шалева 2011 года замечено, что из недавней работы Бабаи, Николова и Пибера вытекает, что над конечным полем $G$ представляется как произведение $5N$ фундаментальных $\mathrm{SL}_2$, где $N=|\Phi^+|$. Из результатов работы первого автора, Смоленского и Сури следует, что над произвольным кольцом стабильного ранга 1 группа $G$ представляется как произведение $4N$ фундаментальных $\mathrm{SL}_2$. В настоящей работе мы показываем, что из разложения Брюа и несложной комбинаторной леммы о группе Вейля сразу вытекает, что над произвольным полем $G$ представляется как произведение $3N$ фундаментальных $\mathrm{SL}_2$. Второй основной результат состоит в том, что для кольца Безу группа $\mathrm{SL}(n,R)$ представляется как произведение $2N$ фундаментальных $\mathrm{SL}_2$. Аналогичный результат имеет место для всех групп Шевалле, но его доказательство требует значительно более детальных вычислений в минимальных представлениях и будет дано в следующей работе авторов. Библ. – 25 назв.