On a canonical extension of Korn's first and Poincaré's inequality to $\mathsf H(\operatorname{Curl})$

Мы доказываем неравенство типа Корна для тензор функций из $\overset\circ{\mathsf H}(\operatorname{Curl};\Omega,\mathbb R^{3\times3})$ в ограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^{3\times3}$ с липшицевой границей. Показано, что в этом случае существует постоянная $c>0$ такая, что неравенство
\begin{equation} c\|P\|_{\mathsf L^2(\Omega,\mathbb R^{3\times3})}\leq\|\operatorname{sym}P\|_{\mathsf L^2(\Omega,\mathbb R^{3\times3})} +\|\operatorname{Curl}P\|_{\mathsf L^2(\Omega,\mathbb R^{3\times3})} \tag{0.1} \end{equation}
выполняется для любой тензор функции $P\in\overset\circ{\mathsf H}(\operatorname{Curl};\Omega,\mathbb R^{3\times3})$ обращается в ноль на $\partial\Omega$. Для полей вида $P=\nabla v$ $\operatorname{Curl}P=0$, где $v\in\mathsf H^1(\Omega,\mathbb R^3)$ и компоненты $v_n$ таковы, что $\nabla v_n$ ортогональны $\partial\Omega$, вышеприведенная оценка сводится к нестандартному вырианту первого неравенства Корна:
$$ c\|\nabla v\|_{\mathsf L^2(\Omega,\mathbb R^{3\times3})}\le \|\operatorname{sym}\nabla v\|_{\mathsf L^2(\Omega,\mathbb R^{3\times3})}. $$
Для кососимметричных $P$ ($\operatorname{sym}P=0$) основная оценка приводит к нестандартной форме неравенства Пуанкаре. Поэтому данная оценка может рассматриваться как обобщение двух классических неравенств: Пуанкаре и первого неравенства Корна. Библ. – 24 назв.