К вопросу об экстремальном разбиении римановой сферы

К известному кругу вопросов об экстремальном разбиении относится задача о максимуме линейной комбинации
$$ \sum_{k=1}^n\alpha_k^2 M(D_k,a_k) \qquad{(1)} $$
приведенных модулей $M(D_k,a_k)$ в семействе всех систем неналегающих односвязных областей $D_k$ на $\overline{\mathbb{C}}$, $a_k\in D_k$, $k=1,\dots,n$. Е. Г. Емельяновым [РЖМат, 1987, 10 БIII] была получена теорема, устанавливающая границу сверху для максимума суммы (1) в виде линейной комбинации приведенных модулей надлежащих двуугольников. Такой подход позволяет получать результаты симметризационного характера в указанной задаче. В настоящей работе дано простое доказательство упомянутой теоремы. В качестве приложения получено решение задачи о максимуме конформного инварианта
$$ 2\pi\sum_{k=1}^5 M(D_k,a_k)-\frac12\log\prod_{1\leqslant k<l\leqslant5}|a_k-a_l| $$
для всех систем точек $\{a_1,\dots,a_5\}$, симметричных относительно некоторой окружности. Библ. – 8 назв.