Сверточные уравнения в пространствах последовательностей с экспоненциальным ограничением роста

Описываются множества решений сверточных уравнений $S*x=0$ (на множестве $\mathbb Z$ или на $\mathbb Z_+=\{n\in\mathbb Z:n\geqslant0\}$) в пространствах последовательностей типа $X=X_{(\beta,\alpha)}$, где $X_{(\beta,\alpha)}=\bigcup_{\gamma<\alpha}\bigcup_{\delta<1/\beta}\{x:|x_n|\leqslant c\gamma^{|n|}, n<0, |x_n|\leqslant c\delta^n, n\geqslant0\}$, $0\leqslant\alpha<\beta\leqslant+\infty$. Доказывается, что любое 1-инвариантное подпространство $E$, $E\subset X$ совпадает с $\operatorname{Ker} S$ при некотором $S$ и – после преобразования Лапласа $x\to\hat x$ – $\widehat{E^\perp}$ представляется в виде $f\cdot A(K_{(\alpha, \beta)})$, где $K_{(\alpha, \beta)}=\{z:\alpha<|z|<\beta\}$.
Пространство $E$ можно записать в виде $E=\operatorname{span}\{\{n^k\lambda^n\}_{n\in z}:\lambda\in\sigma\}+\{x\in X:x_k=0, k<m\}$, $\sigma\in\mathbb C$, тогда и только тогда, когда представляющая функция $f$ есть чистое произведение Вейерштрасса (в кольце $K_{(\alpha, \beta)}$), нули которого не скапливаются к окружности $|\lambda|=\alpha$.