О представлении симметрических функций в пространствах Жевре-Карлемана

Для симметрической функции $f(x)$ $(x\in\mathbb R^d)$ изучается представление $f(x)=\hat f(\sigma_1(x), \dots, \sigma_d(x))$, где $\sigma_j(x)$ – элементарный симметрический многочлен степени $j$. Пусть $\bar\Omega$ – замыкание области $\Omega$ в $\mathbb R^d$, $\varphi(n)$ – такая числовая последовательность, что $\varphi(n+1)/\varphi(n)$ не убывает, пространство Жевре Карлемана $K^\varphi(\bar\Omega)$ – совокупность функций $f\in C^\infty(\Omega)$ таких, что для любой ограниченной подобласти $\Omega'\subset\Omega$ существует константа $H=H_{f, \Omega'}$, с которой выполняется неравенство $|\partial_x^\alpha f(x)|\leqslant H^{|\alpha|+1}|\alpha|!\varphi(|\alpha|)$ $(\forall x\in\Omega', \forall\alpha)$. Пусть $S$ – образ $\mathbb R^d$ при отображении $x\mapsto(\sigma_1(x),\dots,\sigma_d(x))$. Доказана теорема: Для любой $f\in K^\varphi(\mathbb R^d)$ существует $\tilde f\in K^\psi(S)$ такая, что $f(x)=\tilde f(\sigma(x))$ $(\forall x\in\mathbb R^d)$, в том и только в том случае, когда $\psi(n)\geqslant\varphi(nd)\varepsilon^{n+1}$, где $\varepsilon$ – некоторое положительное число, не зависящее от $n$.