Граничное искажение и изменение модуля при расширении двусвязной области

Для однолистных и регулярных в кольце $\mathcal{K}(p)=\{z: p<|z|<1\}$ функций $f(z)$ таких, что $|f(z)|=1$ при $|z|=1$, $0<|f(z)|<1$ при $z\in\mathcal{K}(p)$, получены точные оценки интегральных средних $\int_0^{2\pi}\Phi(|f'(e^{i\theta})|)d\,\theta$, где $\Phi(t)$ — выпуклая монотонная функция. Доказано, что в семействе всех континуумов $E$, для которых $0\in E$, $E\subset U_1$, где $U_R=\{z: |z|<R\}$, и фиксирован конформный модуль двусвязной компоненты $U_1\setminus E$, нааменьшую емкость имеет соответствующий отрезок $I=[0, k]$, а среди всех двусвязных компонент $U_R\setminus E$, $R>1$, наибольший конформный модуль имеет область $U_R\setminus I$. Аналогичные задачи решены для континуумов, лежащих в полуплоскости. Библ. – 7 назв.