О равномерном распределении целых точек на многомерных эллипсоидах

Пусть $Q(X)$, $X^T=(x_1,\dots, x_l)$, – положительно определенная целочисленная примитивная квадратичная форма от $l\geqslant4$ переменных, $r(n)$ – число решений уравнения $Q(X)=n$, $r(n, \Omega)$ – число решений уравнения $Q(X)=n$ таких, что $X/\sqrt n\in\Omega$, где $\Omega$ – произвольная выпуклая область на $Q(X)=1$ с кусочно-гладкой границей. Исследуется асимптотическое поведение величины $r(n,\Omega)$ $(n\to\infty)$. В случае четного $l\geqslant4$ результат формулируется так: при $(n,N)=1$ и $n\to\infty$
$$ r(n,\Omega)=\mu(\Omega)r(n)(1+O(n^{-\frac{l-2}{3l+2}+\varepsilon})),\quad\varepsilon>0,\qquad(1) $$
где $\mu(\Omega)$ – мера области $\Omega$, нормированная условием $\mu(E)=1$, где $E$ – эллипсоид $Q(X)=1$.
Ранее разными авторами были получены более слабые результаты. В случае простейших областей (“пояс”, “шапочка”) остаточный член в (1) можно довести до
$$ O(n^{-\frac{l-2}{2l+2}+\varepsilon}). $$
Последняя оценка при больших $l$ близка к неулучитаемой.
Доказательство использует теорию модулярных форм с привлечением оценок Делиня.