Точные оценки наилучших приближений через отклонения интегралов типа Вейерштрасса

В работе для широкого класса функциональных пространств получены оценки наилучшего приближения функции $f$ целыми функциями экспоненциального типа $\sigma$ через отклонение функции $f$ от своей свертки с фиксированной суммируемой функцией $W$. Пусть $c(W,y)=\frac1{2\pi}\int_\mathbb RW(t)e^{-iyt}\,dt$; $\widehat{CM}^2_c(y_0)$ – класс четных функций $W\in L_1(\mathbb R)$, таких что при всех $y\geq y_0$ справедливо представление
$$ c(W,y)=\int_0^{+\infty}e^{-y^2u}\,d\Phi(u), $$
где функция $\Phi$ возрастает на $(0,+\infty)$; свертка задается равенством $f*W(x)=\frac1{2\pi}\int_\mathbb Rf(x-t)W(t)\,dt$.
Основной результат работы состоит в следующем. Пусть $p\in[1,+\infty]$, $y_0>0$, $W\in\widehat{CM}^2_c(y_0)$, $c(W,y)<1$ при всех $y\geq y_0$, $c(W)\in C^{(2)}\bigl(\mathbb R\setminus(-y_0,y_0)\bigr)$, $\sigma\geq y_0$. Построен оператор свертки $Y_{\sigma,W}$ со значениями в множестве целых функций степени не выше $\sigma$, такой что для любой функции $f\in L_p(\mathbb R)$ справедливо неравенство
$$ \|f-Y_{\sigma,W}f\|_p\leq \biggl(1+\frac4{\pi}\sum_{\nu=0}^\infty\frac{(-1)^\nu}{2\nu+1}\,\frac{c(W,(2\nu+1)\sigma)}{1-c(W,(2\nu+1)\sigma)}\biggr)\|f-f*W\|_p. $$
При $p=1,\infty$ константа точная, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение. Частными случаями полученных результатов являются оценки наилучших приближений через отклонения интегралов Пуассона и Вейерштрасса, а также оценки в пространствах периодических функций. Получены также усиления оценок в терминах, содержащих конечные разности. Библ. – 7 назв.