Применение сферических функций к одной задаче теории квадратичных форм

Задача о количестве целых точек на многомерных эллипсоидах изучается с помощью теории модулярных форм. В работе трактуется простейший частный случай этой задачи: рассмотрена многомерная сфера и в качестве области на ней берется “шапочка”. Точный результат формулируется так: пусть $r_\ell(n)$ – число представлений $n$ суммой $\ell$ квадратов, $0<A<1$, тогда при четном $\ell\geq 6$
$$ \sum_{-A\leq\frac{x}{\sqrt{n}}\leq A}r_{\ell-1}(n-x^2)=r_\ell(n)\left(K_\ell(A)+O\left(n^{-\frac{\ell-2}{2(\ell+1)}+\varepsilon}\right)\right); $$
при $\ell=4$
$$ \sum_{-A\leq\frac{x}{\sqrt{n}}\leq A}r_3(n-x^2)=r_4(n)\left(K_4(A)+O\left(n_1^{-\frac{1}{5}+\varepsilon}\right)\right), $$
где $n=2^\alpha n_1$, $2^\alpha\,\|\,n$; выражение для $K_\ell(A)$, $\ell\geq4$ дается в работе. Показано также, что можно несколько уточнить результаты о распределении целых точек на многомерных эллипсоидах, полученные А. В. Малышевым (РЖМат, 1963, 8AI06) круговым методом, оставаясь в рамках тех же приемов. Библ. – 8 назв.