Зависимость проблемы модуля для семейства нескольких классов кривых от параметров

Пусть $\bar{ \mathbb{C} }^\prime=\bar{ \mathbb{C} }\setminus\{A\cup B\}$, где $A=\{a_1,\dots,a_n\}$ и $B=\{b_1,\dots,b_m\}$ -системы отмеченных точек, и пусть $H$ - семейство гомотопических классов $H_i$, $i=1,\dots,j+m$, замкнутых жордановых кривых на $\bar{ \mathbb{C} }$, причем классы $H_{j+\ell}$, $\ell=1,\dots,m$, состоят из кривых, гомотопных точечной кривой в $b_\ell$. Пусть $\alpha=\{\alpha_1,\dots,\alpha_{j+m}\}$ – система положительных чисел. Через $P=P(\alpha,A,B)$ обозначаем экстремально-метрическую проблему (см. РЖМат, 1981, 4Б127) для семейства $H$ и чисел $\alpha$: для модуля $M=M(\alpha,A,B)$ этой проблемы имеем равенство
$$ M=\sum^{j+m}_{i=1}\alpha^2_i M(D_i^\ast), $$
где $D^\ast=\{D_1^\ast,\dots,D^\ast_{j+m}\}$ - система областей, реализующая максимум указанной суммы в семействе всех систем $D=\{D_1,\dots,D_{j+m}\}$ областей, ассоциированных с семейством $H$ (через $M(D_1)$ обозначаем модуль области $D_i$, ассоциированный с классом $H_i$.
В настоящей работе исследуется зависимость $M=M(\alpha,A,B)$ и модулей $M(D_i^\ast)$ от параметров $\alpha_i$, $a_k$, $b_\ell$, при этом рассматриваются условия, при которых некоторые из двусвязных областей $D_i^\ast$, $i=1,\dots,j$, в системе $D^\ast$ оказываются вырожденными (теоремы 1-3). В частности, получено выражение для градиента функции $M$, как функции параметра $a=a_k$ (теорема 4). Даны некоторые приложения полученных результатов (теорема 5) . Библ. – 5 назв.