Точное неравенство для отклонения сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности в пространстве непрерывных периодических функций

Пусть $C$ – пространство $2\pi$-периодических непрерывных вещественнозначных функций с равномерной нормой; $R_n(f)$ – сумма Рогозинского порядка $n$ функции $f$; $\omega_2(f,h)=\sup\limits_{|t|\le{h},x\in\mathbb R}|f(x+t)-2f(x)+f(x-t)|$ – второй модуль непрерывности функции $f\in C$ с шагом $h$;
$$ D_n=\sup_{f\in C}\frac{\|R_n(f)-f\|}{\omega_2(f,\frac{\pi}{n+1})},\qquad D=\sup_{n\in\mathbb Z_+}D_n. $$
В работе получены оценки величин $D_n$ сверху и снизу вида $C_n'\le D_n\le C_n$, такие что
$$ \sup_{n\in\mathbb Z_+}C_n=\lim_{n\to\infty}C_n=\lim_{n\to\infty}C_n'. $$
Таким образом, найдено значение
$$ D=\frac34-\frac1\pi\left(\textrm{Si}\frac\pi2-\textrm{Si}\pi+\textrm{Si}\frac{3\pi}2\right)+\frac1{\pi^2}+\frac1{2\pi}\int_0^{\pi/2}\left(\frac1{x^2}-\frac{\operatorname{ctg}x}x\right)\,dx=0{,}581\dots $$
Также найдено значение
$$ D_1=\frac58-\frac1\pi\left(\frac1{\sqrt2}-\frac12\right)=0{,}559\dots $$
Оценки сверху верны для пространства с полунормой, инвариантной относительно сдвига и мажорируемой равномерной нормой. Библ. – 6 назв.