О линейных фронтах выпуклых многогранников

Выпуклым многогранником мы называем пересечение конечного числа замкнутых полупространств евклидова пространства, которое ограничено и имеет непустую внутренность.
Пусть каждая из гиперплоскостей граней $f_1,\dots, f_m$ старшей размерности многогранника $M$ в $\mathbb R^n$ параллельно перемещается внутрь $M$ с постоянной неотрицательной скоростью, причём не все скорости нулевые, и $\operatorname{reg}(f_1),\dots,\operatorname{reg}(f_m)$ – части многогранника, заметаемые гиперплоскостями граней $f_1,\dots,f_m$ в процессе движения.
В работе доказывается следующая теорема. Пусть $F$ – неотрицательный непрерывный относительно метрики Хаусдорфа функционал на компактных выпуклых подмножествах $\mathbb R^n$, причём $F(K)=0$ если и только если $\dim(K)<n$. Тогда для любого упорядоченного набора $x_1,\dots,x_m$ неотрицательных, одновременно не обращающихся в $0$ чисел существует такой набор скоростей граней $f_1,\dots,f_m$, что набор чисел $(F(\operatorname{reg}(f_1)),\ldots,F(\operatorname{reg}(f_m)))$ пропорционален набору $x_1,\dots,x_m$. Библ. – 1 назв.