О вычислении индекса Морса и продолжении лучевых формул за каустики

Лучевой метод, будучи алгоритмически простым и наглядным с физической точки зрения, широко используется для расчета высокочастотных волновых полей различной физической природы. И хотя он не применим на каустиках, и в неоднородных средах могут возникать многочисленные каустики, они все же имеют меру нуль. Это означает, что даже в сложных неоднородных средах имеются подобласти, свободные от каустик, где возможно использовать лучевые формулы. Для этого необходимо подсчитать скачки фаз в них, вызванные переходом лучей через каустики, то есть вычислять индекс Морса – число фокальных точек (с учетом их кратности) – на луче между источником волнового поля и точкой наблюдения. В статье рассматривается эта задача и дано её полное решение в случае двух пространственных переменных. А именно, строится явная формула для комплексно-значной функции вещественной переменной – длины дуги вдоль луча – приращение аргумента которой, вычисленное по модулю $2\pi$, позволяет находить индекс Морса в обоих случаях, когда поле лучей задано точечным источником и когда оно порождено изначально заданным волновым фронтом $\tau=\mathrm{const}$. Библ. – 9 назв.