О конгруэнтном централизаторе жордановой клетки

Конгруэнтным централизатором комплексной $n\times n$-матрицы $A$ называется множество $n\times n$-матриц $Z$ таких, что $Z^*AZ=A$. Это множество есть аналог классического централизатора для случая, когда отношение подобия в пространстве $n\times n$-матриц заменяется отношением конгруэнтности.
Исследование классического централизатора $\mathcal C_A$ сводится к описанию множества решений линейного матричного уравнения $AZ=ZA$. Структура этого множества хорошо известна и объясняется во многих монографиях по теории матриц. Что касается конгруэнтного централизатора, то его исследование равносильно описанию множества решений системы из $n^2$ квадратичных уравнений с $n^2$ неизвестными. Сложность этой задачи объясняет то обстоятельство, что до сих пор отсутствует описание конгруэнтного централизатора $C_J^*$ даже для простейшего случая жордановой клетки $J=J_n(0)$ с нулем на главной диагонали. В данной статье изложены некоторые факты, относящиеся к строению матриц из $C_J^*$ при любом $n$, и дано полное описание групп $C_J^*$ для $n=2,3,4,5$. Библ. – 1 назв.