Целые точки в четырехмерном шаре

Рассматривается среднее Рисса порядка $\rho>0$ $D_\rho(x;\zeta_4)$ коэффициентов дзета-функции Эпштейна
$$ \zeta_4(s)=\sum^\infty_{n=1}r_4(n)n^{-s}, $$
ассоциированной с суммой четырех квадратов.
Пусть $\Delta_\rho(x;\zeta_4)$ – остаточный член в асимптотической формуле для $D_\rho(x;\zeta_4)$. Доказано:
$$ \Delta_\rho(x;\zeta_4)= \begin{cases} O(x^{1/2+\rho+\epsilon})&(1<\rho\leq3/2),\\ O(x^{9/8+\rho/4})&(1/2<\rho\leq1),\\ O(x^{5/4+\epsilon})&(0<\rho\leq1/2); \end{cases} $$

$$ \Delta_{1/2}(x;\zeta_4)=\Omega(x\log^{1/2}x). $$
Библ. – 15 назв.