Произведения коммутаторов полной линейной группы над телом

Мы рассматриваем вербальное отображение $\widetilde w\colon\mathrm{GL}_m(D)^{2k}\to\mathrm{GL}_n(D)$ и $\widetilde w\colon D^{*2k}\to D^*$ для слова $w=\prod_{i=1}^k[x_i,y_i]$, где $D$ – тело над полем $K$. Если $\widetilde w(D^{*2k})=[D^*,D^*]$, то мы доказываем, что $\widetilde w(\mathrm{GL}_n(D))\supset E_n(D)\setminus Z(E_n(D))$, где $E_n(D)$ – подгруппа $\mathrm{GL}_n(D)$, порожденная трансвекциями, а $Z(E_n(D))$ – ее центр. Если к тому же $n>2$, то мы доказываем, что $\widetilde w(E_n(D))\supset E_n(D)\setminus Z(E_n(D))$. Доказательство результата опирается на “разложение Гаусса с заданной полупростой частью” группы $\mathrm{GL}_n(D)$, которое также рассматривается в этой статье. Библ. – 18 назв.