Вербальные отображения групп Шевалле над бесконечными полями
Е. А. Егорченкова Государственный Педагогический Университет им. А. И. Герцена, Мойка 48, 191186 Санкт-Петербург, Россия
Аннотация:
Пусть
$G$ – односвязная группа Шевалле над бесконечным полем
$K$, а
$\mathbf{w}: G^n\rightarrow G$ вербальное отображение, соответствующее нетривиальному слову
$w$. В работе Isr. J. Math.
210 (2015), 81–100, было доказано, что если
$w = w_1w_2w_3w_4$ – произведение четырех слов от независимых переменнных, то любой нецентральный элемент группы
$G$ содержится в образе отображения
$\mathbf{w}$. В Archiv der Math.
112 (2019), No. 2, 113–122, аналогичный результат был доказан для слова
$w = w_1w_2w_3$, являющегося произведением трех независимых слов, однако, при условии, что группа
$G$ не является группой типов
$B_2, G_2$. В данной работе показано, что для групп типов
$B_2, G_2$ все элементы большой клетки Брюа
$B n_{w_0} B$ содержатся в образе
$\mathbf{w}$ для слова
$w = w_1w_2w_3$, являющегося произведением трех независимых слов. Для групп типа
$A_r, C_r, G_2$ (соответственно, для групп типа
$A_r$) или групп над совершенным полем
$K$ (cоответственно, над совершенным полем
$K$, у которого характеристика
$\mathrm{char} K$ – не плохое простое число для
$G$), когомологическая размерность которого
$\leq 1$, показано, что все регулярные расщепимые полупростые (соответственно, регулярные унипотентные) элементы группы
$G$ содержатся в образе отображения
$\mathbf{w}$ для слова
$w = w_1w_2$, являющегося произведением двух независимых слов. Также для любой изотропной (не обязательно расщепимой) алгебраической группы
$\mathcal G$ над полем
$K$ характеристики ноль показано, что для вербального отображения $\mathbf{w}: \mathcal{G}(K)^n\rightarrow \mathcal{G}(K)$, где
$w = w_1w_2$ – произведение двух независимых слов, любой унипотентный элемент содержится в
$\Im \mathbf{w}$. Библ. – 19 назв.
Ключевые слова:
вербальные отображения, группы Шевалле, простые алгебраические групы.
УДК:
512.5
Поступило: 30.04.2019