Бесконечное произведение экстремальных мультипликаторов гильбертова пространства с ядром Шварца–Пика

В гильбертовом пространстве $H$ функций на множестве $X$ с воспроизводящим ядром $k_x(y)$ определим расстояние от точки $a$ множества $X$ до подмножества $Z$ множества $X$ следующим образом:
$$ d(a,Z)=\inf\left\{\Big\|\frac{k_a}{\|k_a\|}-h\Big\|\biggm | h\in \overline{\mathrm{span}}\big\{k_z | z\in Z\big\} \right\} . $$
Назовем функцию $\psi_{a,Z}$ экстремальным мультипликатором пространства $H$, если $\|\psi_{a,Z}\|\leq 1,\ \psi_{a,Z}(a)=d(a,Z),\ \psi_{a,Z}(z)=0,\ z\in Z$. Пространство $H$ обладает ядром Шварца–Пика, если для любой пары $(a,Z)$ существует экстремальный мультипликатор. Это определение обобщает хорошо известные пространства с ядром Неванлинны–Пика. Для пространства $H$ с ядром Шварца–Пика, для величины $d(a,Z)$ доказано неравенство, обобщающее усиленное неравенство треугольника для метрики $d(a,b)$. Для последовательности подмножеств
$$ \{Z_n\}_{n=1}^\infty,\ Z_n\subset X, $$
удовлетворяющих условию $\sum\limits_{n=1}^\infty\left(1-d^2(a,Z_n)\right)<\infty$, доказано, что бесконечное произведение экстремальных мультипликаторов $\psi_{a,Z_n}$ сходится абсолютно и равномерно на любом шаре метрики $d$, радиус которого строго меньше единицы, а также сходится в сильной операторной топологии пространства мультипликаторов. Библ. – 7 назв.